Distribution invariante d'une chaîne de Markov à n états

Définition  

Soit une chaîne de Markov  $(X_k)$ à  $n$ états, de matrice de transition associée $T$ . Une distribution de probabilité $X$ , telle que  $X=XT$ , est appelée distribution invariante de la chaîne de Markov. Une distribution invariante est donc un point fixe.

Remarque  

$X=XT\iff X(T-I_n)=O_n$ , avec  $I_n$  la matrice identité de taille  $n$  et  $O_n$  la ligne de  $n$  coefficients tous nuls. Il s'agit d'un système linéaire (écrit en colonnes au lieu d'être écrit en lignes) de  $n$  équations à  $n$  inconnues.

Si on ajoute la condition que  $X$  doit être une distribution de probabilités, donc la somme de ses coefficients vaut  $1$ , on ajoute encore une équation linéaire qui lie les  $n$  inconnues !

Il semble donc y avoir une équation de trop, $n+1$  équations pour $n$  inconnues, ce qui en général n'a pas de solution.

En réalité, en raison du lien entre les coefficients de la matrice de transition (somme des coefficients de chaque ligne égale à  $1$ ), la matrice  $T-I_n$  n'est pas inversible ; les  $n$  équations de  $X(T-I_n)=O_n$ sont redondantes, on peut en supprimer une.